先読み射撃（偏差射撃）

▲あなたの担当　この章は、bot の中で使う計算の説明です。使うだけなら → 動く敵に当てる

止まっている敵には、まっすぐ狙えば当たります。 動いている敵には当たりません。 理由は単純で、弾が飛んでいるあいだに敵が移動するからです。

敵が「これから居るところ」を狙うのが偏差射撃です。ゲームでも実際の射撃でも同じ言葉を使います。

なぜ、まっすぐ撃つと当たらないのか

CodeTank Arena の弾は 8.0 マス/秒で飛びます。かなり速いのですが、無限ではありません。

たとえば敵が 8 マス先にいるとき、弾が届くまでにかかる時間は

$$\frac{8\ \text{マス}}{8.0\ \text{マス/秒}} = 1.0\ \text{秒}$$

戦車の前進速度は 3.0 マス/秒なので、その 1.0 秒のあいだに敵は 3 マス動きます。 戦車の当たり判定は半径 0.40 マス、つまり直径 0.8 マスですから、3 マスのずれは「かすりもしない」量です。

当たらないのは腕の問題ではなく、狙う場所が間違っているのです。

着弾までの時間を出す

まず、弾が届くまでの時間 $t$ を求めます。 自分の位置を $\mathbf{p}_{\text{me}}$、敵の位置を $\mathbf{p}_{\text{enemy}}$、弾速を $v_{\text{bullet}}$ とすると

$$t = \frac{\Vert{}\mathbf{p}_{\text{enemy}} - \mathbf{p}_{\text{me}}\Vert{}}{v_{\text{bullet}}}$$

記号の読み方です。

• $\mathbf{p}$ は位置。太字なのは「$x$ と $y$ の 2 つ組」だからです。$\mathbf{p}_{\text{me}} = (x_{\text{me}},\, y_{\text{me}})$。
• $\Vert{}\cdots\Vert{}$ は長さ。$\Vert{}\mathbf{a} - \mathbf{b}\Vert{}$ で「$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のあいだの距離」です。 中身は三平方の定理そのもので、$\sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}$ を短く書いたものにすぎません。
• $v_{\text{bullet}} = 8.0$（マス/秒）。

つまりこの式は「距離 ÷ 速さ ＝ 時間」と言っているだけです。 プログラムでは distance() がこの $\Vert{}\cdots\Vert{}$ をそのままやってくれます。

t = distance(state.me.x, state.me.y, state.enemy.x, state.enemy.y) / 8.0

未来の位置を予測する

時間 $t$ が分かったので、その時間だけ敵が進んだ先を狙います。 敵の速度を $\mathbf{v}_{\text{enemy}}$ とすると、狙う点 $\mathbf{p}_{\text{aim}}$ は

$$\mathbf{p}_{\text{aim}} = \mathbf{p}_{\text{enemy}} + \mathbf{v}_{\text{enemy}}\, t$$

$x$ と $y$ に分けて書けば、見慣れた形になります。

$$\begin{aligned} x_{\text{aim}} &= x_{\text{enemy}} + v_{x}\, t \\ y_{\text{aim}} &= y_{\text{enemy}} + v_{y}\, t \end{aligned}$$

「いまの位置 ＋ 速さ × 時間」。小学校で習う「道のり ＝ 速さ × 時間」を、$x$ 方向と $y$ 方向で 1 回ずつやっているだけです。

速度の単位をそろえる

state.enemy.vx / vy は マス/フレームです。$t$ は秒なので、そのまま掛けると 60 倍ずれます。 60 を掛けて マス/秒 に直してから使ってください（1 秒 = 60 フレーム）。

予測はずれる、だから繰り返す

ここまでの計算には、実はごまかしがあります。

$t$ を出すときに使ったのは「いまの敵の位置までの距離」でした。 しかし本当に狙うのは未来の位置 $\mathbf{p}_{\text{aim}}$ で、そこまでの距離は違います。 敵が遠ざかっていれば、弾はもっと長く飛ばねばならず、$t$ はもっと大きいはずです。

対処は簡単で、出た答えでもう一度計算し直すだけです。

$$t_{k+1} = \frac{\Vert{}(\mathbf{p}_{\text{enemy}} + \mathbf{v}_{\text{enemy}}\, t_{k}) - \mathbf{p}_{\text{me}}\Vert{}}{v_{\text{bullet}}}$$

$t_0$ に最初の答えを入れて 2 回ほど回すと、値はほとんど動かなくなります。 弾速 8.0 マス/秒に対して戦車は 3.0 マス/秒と遅いので、収束が速いのです。

動くコード

そのまま bot に貼って動きます。使っているのは distance と angle_to の 2 つだけです。

偏差射撃で撃つ bot

BULLET_SPEED = 8.0   # マス/秒
FPS = 60.0           # 1 秒あたりのフレーム数

def aim_point(state):
    """敵の未来の位置（狙点）を返す。"""
    ex = state.enemy.x
    ey = state.enemy.y
    # vx / vy は マス/フレーム なので、マス/秒 にそろえる
    evx = state.enemy.vx * FPS
    evy = state.enemy.vy * FPS

    tx = ex
    ty = ey
    i = 0
    while i < 2:                       # 2 回で十分収束する
        t = distance(state.me.x, state.me.y, tx, ty) / BULLET_SPEED
        tx = ex + evx * t
        ty = ey + evy * t
        i = i + 1
    return (tx, ty)

def update(state):
    tx, ty = aim_point(state)

    # angle_to は「ここから、あそこ」を向く角度（度）を返す
    want = angle_to(state.me.x, state.me.y, tx, ty)

    # いまの向きと狙いの差。-180〜180 に収まる
    diff = angle_diff(want, state.me.angle)

    # 砲身が向ききる前に撃っても当たらない。4 度以内になってから撃つ
    fire = state.me.can_fire and abs(diff) < 4.0

    return {"drive": "stop", "steer": want, "fire": fire, "barrier": False}

steer には向きたい角度そのものを入れます。差分ではありません。 戦車は毎秒およそ 180 度（546 angle-units/frame）まで回れて、その角度へ最短回りで向きます。

撃つ前に向きを確かめる

abs(diff) < 4.0 の判定を外すと、旋回の途中で撃ってしまい、狙点の計算が正しくても当たりません。 「計算は合っているのに当たらない」ときは、まずここを疑ってください。

組み込みの predict_lead は何をしているか

同じことをする組み込み関数があります。

tx, ty = predict_lead(state.enemy, 8.0, state.me.x, state.me.y)

こちらは繰り返しではなく、方程式を解いて一発で答えを出しています。

「弾が $t$ 秒で進む距離」と「$t$ 秒後の敵までの距離」が等しい、と書くと

$$\Vert{}\mathbf{r} + \mathbf{v}_{\text{enemy}}\, t\Vert{}^2 = (v_{\text{bullet}}\, t)^2 \qquad (\mathbf{r} = \mathbf{p}_{\text{enemy}} - \mathbf{p}_{\text{me}})$$

左右を展開して $t$ について整理すると、中学校で習う 2 次方程式になります。

$$\underbrace{\left(\Vert{}\mathbf{v}_{\text{enemy}}\Vert{}^2 - v_{\text{bullet}}^2\right)}_{a}\, t^2 + \underbrace{2\,(\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}_{\text{enemy}})}_{b}\, t + \underbrace{\Vert{}\mathbf{r}\Vert{}^2}_{c} = 0$$

ここで $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}$ は内積で、$r_x v_x + r_y v_y$ のことです。

解の公式 $t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ から出た 2 つの解のうち、 predict_lead は正で小さいほう（＝いちばん早く当たる時刻）を採ります。 正の解がない、または 10 秒を超える場合は「当てられない」と判断し、敵の現在位置を返します。

どちらを使うか

predict_lead は速くて正確ですが、中で何をしているか分からないまま使うと学べません。 まず上の繰り返し版を自分で書いて、答えが predict_lead と近いことを確かめてみてください。

つぎに読む

• 壁ではね返る弾で、まっすぐ見えない敵を狙う → 跳弾のしくみ
• ここで使った関数が書ける Python の範囲 → Sub-Python の構文